$AB = 0$ તો જ શક્ય છે જો . . .

જો $P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&0&0 \\ 
  3&1&0 \\ 
  9&3&1 
\end{array}} \right]$ અને $Q = [q_{ij}]$ એ $3\times3$ શ્રેણિક છે કે જેથી  $Q -P^5 = I_3$. તો $\frac{{{q_{21}} + {q_{31}}}}{{{q_{32}}}} =$

જો શ્રેણિક $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \theta }&{\cos ec\theta }&1\\
{\cos ec\theta }&1&{\sin \theta }\\
1&{\sin \theta }&{\cos ec\theta }
\end{array}} \right]$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક હોય તો  $'\theta'$ ની શક્ય કિમંત મેળવો.  $($ કે જ્યાં  $n \in I)$

$\cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{\sin \theta }\\{ – \sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right] + \sin \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \theta }&{ – \cos \theta }\\{\cos \theta }&{\sin \theta }\end{array}} \right] = $

વિધાનસભાની એક ચૂંટણીમાં, એક રાજકીય પક્ષ પોતાના ઉમેદવારનો પ્રચાર ટેલિફોન, પ્રત્યક્ષ મુલાકાત અને પત્રો લખવા જેવી ત્રણ રીતે કરવા પ્રસાર માધ્યમને ભાડે લે છે. શ્રેણિક $A$ માં સંપર્ક દીઠ ભાવ (પૈસામાં) નીચે પ્રમાણે આપ્યો છે :

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\mathrm {Cost\,\,per\,\,contact}} \\ 
  {40} \\ 
  {100} \\ 
  {50} 
\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{l}}
  {{\text{ Telephone }}} \\ 
  {{\text{ Housecall }}} \\ 
  {{\text{ Letter }}} 
\end{array}$

બે શહેરી $X$ અને $Y$ માં, દરેક પ્રકારના સંપર્કની સંખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી છે :

$B=$$\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\mathrm {Telephone}}&{\mathrm {Housecall}}&{\mathrm {Letter}} \\ 
  {1000}&{500}&{5000} \\ 
  {3000}&{1000}&{10,000} 
\end{array}} \right]\,$ $\begin{array}{*{20}{c}}
  {} \\ 
  { \to X} \\ 
  { \to \,Y} 
\end{array}$.

બે શહેરો $X$ અને $Y$ માં પક્ષ દ્વારા ખર્ચવામાં આવેલ કુલ રકમ શોધો.